قاعدة الضرب للأحداث المستقلة

قاعدة الضرب للأحداث المستقلة

من المهم معرفة كيفية حساب احتمال حدوث حدث. تسمى أنواع معينة من الأحداث في الاحتمال مستقلة. عندما يكون لدينا حدثان مستقلان ، قد نسأل في بعض الأحيان ، "ما هو احتمال حدوث هذين الحدثين؟" في هذه الحالة ، يمكننا ببساطة مضاعفة احتمالينا معًا.

سنرى كيفية استخدام قاعدة الضرب للأحداث المستقلة. بعد أن تخطينا الأساسيات ، سنرى تفاصيل حسابين.

تعريف الأحداث المستقلة

نبدأ بتعريف الأحداث المستقلة. في الاحتمال ، يكون الحدثان مستقلان إذا لم تؤثر نتيجة حدث واحد على نتائج الحدث الثاني.

وخير مثال على زوج من الأحداث المستقلة هو عندما نمتد ثم نقلب قطعة نقود معدنية. الرقم المعروض على القالب ليس له أي تأثير على العملة التي تم قذفها. لذلك هذان الحدثان مستقلان.

من الأمثلة على زوج من الأحداث غير المستقلة جنس كل طفل في مجموعة من التوائم. إذا كان التوأم متطابقين ، فسيكون كلاهما ذكرًا ، أو كلاهما أنثى.

بيان من قاعدة الضرب

تتعلق قاعدة الضرب للأحداث المستقلة باحتمال حدوث حدثين باحتمال حدوثهما. من أجل استخدام القاعدة ، نحتاج أن يكون لدينا احتمالات لكل حدث من الأحداث المستقلة. بالنظر إلى هذه الأحداث ، تنص قاعدة الضرب على احتمال حدوث كلا الحدثين بضرب احتمالات كل حدث.

صيغة قاعدة الضرب

تعتبر قاعدة الضرب أسهل بكثير في التعامل والعمل عندما نستخدم الترميز الرياضي.

دلالة على الأحداث ا و ب واحتمالات كل من P (A) و P (B). إذا ا و بهي أحداث مستقلة ، ثم:


P (A و ب) = ف (أ) س P (B)

تستخدم بعض إصدارات هذه الصيغة رموزًا أكثر. بدلاً من كلمة "و" يمكننا بدلاً من ذلك استخدام رمز التقاطع: ∩. في بعض الأحيان يتم استخدام هذه الصيغة كتعريف للأحداث المستقلة. الأحداث مستقلة إذا وفقط إذا P (A و ب) = ف (أ) س P (B).

مثال رقم 1 من استخدام قاعدة الضرب

سنرى كيفية استخدام قاعدة الضرب من خلال النظر في بعض الأمثلة. لنفترض أولاً أننا نموت ستة جوانب ثم نقلب قطعة نقود معدنية. هذان الحدثان مستقلان. احتمال المتداول a 1 هو 1/6. احتمال الرأس هو 1/2. احتمال المتداول 1 و الحصول على الرأس هو 1/6 × 1/2 = 1/12.

إذا كنا نميل إلى الشك في هذه النتيجة ، فإن هذا المثال صغير بما فيه الكفاية بحيث يمكن إدراج جميع النتائج: {(1 ، H) ، (2 ، H) ، (3 ، H) ، (4 ، H) ، (5، H)، (6، H)، (1، T)، (2، T)، (3، T)، (4، T)، (5، T)، (6، T)}. نرى أن هناك اثنا عشر نتيجة ، جميعها من المرجح أن تحدث. لذلك فإن الاحتمال 1 والرأس هو 1/12. كانت قاعدة الضرب أكثر فاعلية لأنها لم تتطلب منا إدراج مساحة العينة بأكملها.

مثال رقم 2 من استخدام قاعدة الضرب

على سبيل المثال ، لنفترض أننا نرسم بطاقة من سطح السفينة القياسي ، واستبدل هذه البطاقة ، ونخلطها ثم نرسمها مرة أخرى. ثم نسأل ما هو احتمال أن يكون كلا ورقتي ملوك. نظرًا لأننا استبدلنا ، فإن هذه الأحداث مستقلة وتطبق قاعدة الضرب.

احتمال رسم الملك للحصول على البطاقة الأولى هو 1/13. احتمال رسم الملك في السحب الثاني هو 1/13. السبب في ذلك هو أننا نحل محل الملك الذي رسمناه منذ المرة الأولى. نظرًا لأن هذه الأحداث مستقلة ، فنحن نستخدم قاعدة الضرب لنرى أن احتمال رسم ملوكين يعطى بواسطة المنتج التالي 1/13 x 1/13 = 1/169.

إذا لم نحل محل الملك ، فسنواجه وضعًا مختلفًا لا تكون فيه الأحداث مستقلة. تتأثر احتمالية رسم الملك على البطاقة الثانية بنتيجة البطاقة الأولى.