وظيفة توليد اللحظات لمتغير عشوائي

وظيفة توليد اللحظات لمتغير عشوائي

تتمثل إحدى طرق حساب متوسط ​​وتباين توزيع الاحتمالات في إيجاد القيم المتوقعة للمتغيرات العشوائية X و X2. نحن نستخدم التدوين E(X) و E(X2) للدلالة على هذه القيم المتوقعة. بشكل عام ، من الصعب حساب E(X) و E(X2) مباشرة. للتغلب على هذه الصعوبة ، نستخدم بعض النظريات الرياضية وحساب التفاضل والتكامل الأكثر تقدما. النتيجة النهائية هي شيء يجعل حساباتنا أسهل.

تتمثل استراتيجية هذه المشكلة في تحديد دالة جديدة لمتغير جديد تي وهذا ما يسمى وظيفة توليد لحظة. تتيح لنا هذه الوظيفة حساب اللحظات من خلال أخذ المشتقات ببساطة.

الافتراضات

قبل أن نحدد وظيفة توليد اللحظات ، نبدأ بتحديد المرحلة بالتدوين والتعاريف. نحن نسمح X يكون متغير عشوائي منفصل. هذا المتغير العشوائي لديه وظيفة الكتلة الاحتمالية F(س). سيتم الإشارة إلى مساحة العينة التي نعمل معها S.

بدلا من حساب القيمة المتوقعة لل X، نريد حساب القيمة المتوقعة للدالة الأسية المتعلقة بـ X. إذا كان هناك عدد حقيقي إيجابي ص مثل ذلك E(البريدTX) موجود ومحدود للجميع تي في الفاصل الزمني -ص, ص، ثم يمكننا تحديد وظيفة توليد لحظة من X.

فريف

دالة إنشاء اللحظات هي القيمة المتوقعة للدالة الأسية أعلاه. وبعبارة أخرى ، نقول أن لحظة توليد وظيفة من X اعطي من قبل:

M(تي) = E(البريدTX)

هذه القيمة المتوقعة هي الصيغة Σ البريدتكساس F (س) ، حيث يتم أخذ الجمع على الجميع س في مساحة العينة S. يمكن أن يكون هذا مبلغًا محدودًا أو لا نهائيًا ، وفقًا لمساحة العينة المستخدمة.

الخصائص

تحتوي وظيفة إنشاء اللحظات على العديد من الميزات التي تتصل بمواضيع أخرى في الاحتمالات والإحصائيات الرياضية. تتضمن بعض أهم ميزاته ما يلي:

  • معامل البريدمرض السل هو احتمال ذلك X = ب.
  • تمتلك وظائف توليد اللحظات المميزة خاصية فريدة. إذا كانت لحظة إنشاء وظائف لمتغيرين عشوائيين متطابقة مع بعضها البعض ، فعندئذٍ يجب أن تكون وظائف كتلة الاحتمال هي نفسها. بمعنى آخر ، تصف المتغيرات العشوائية نفس التوزيع الاحتمالي.
  • وظائف توليد اللحظات يمكن استخدامها لحساب لحظات X.

حساب لحظات

يشرح العنصر الأخير في القائمة أعلاه اسم وظائف توليد اللحظات وكذلك فائدتها. بعض الرياضيات المتقدمة تقول أنه في ظل الظروف التي وضعناها ، اشتقاق أي ترتيب للوظيفة M (تي) موجود لمتى تي = 0. علاوة على ذلك ، في هذه الحالة ، يمكننا تغيير ترتيب الجمع والتمايز فيما يتعلق تي للحصول على الصيغ التالية (جميع الخلاصات تجاوزت قيم س في مساحة العينة S):

  • M'(تي) = Σ XEتكساس F (س)
  • M"(تي) = Σ س2البريدتكساس F (س)
  • M"(تي) = Σ س3البريدتكساس F (س)
  • M(ن)'(تي) = Σ سنالبريدتكساس F (س)

إذا وضعنا تي = 0 في الصيغ أعلاه ، ثم البريدتكساس مصطلح يصبح البريد0 = 1. وبالتالي نحصل على صيغ لحظات المتغير العشوائي X:

  • M'(0) = E(X)
  • M"(0) = E(X2)
  • M"(0) = E(X3)
  • M(ن)(0) = E(Xن)

هذا يعني أنه في حالة وجود وظيفة توليد اللحظات لمتغير عشوائي معين ، فيمكننا إيجاد متوسطها وتباينها من حيث مشتقات دالة توليد اللحظات. يعني هو M'(0) ، والتباين هو M"(0) - M'(0)2.

ملخص

باختصار ، كان علينا أن ندخل في بعض الرياضيات الرفيعة المستوى ، لذا فقد تم اكتشاف بعض الأشياء. على الرغم من أنه يجب علينا استخدام حساب التفاضل والتكامل لما سبق ، إلا أن عملنا الرياضي في النهاية يكون أسهل من حساب اللحظات مباشرة من التعريف.